Sujet A.1.4 Bijections
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Exercice a
Soit l'application $\,\sigma:\bb R\to\bb R\,$ définie par :
$\,\sigma(x)=\Syst{ x/{|x|}& \text{ si }\ x\neq0\sp{1.5},\\0\ \ \ &\text{ si } \ x=0\sp{1.5}.}\,$
On considère alors l'application :
$\,f:\bb R\to\bb R\,$ définie par $\,f(x)=\sigma(x)\,x^2.\,$
Démontrer que $\,f\,$ est une permutation de $\,\bb R\sp{1.5},\,$ et exprimer $\,f^{-1}(y)\,$ en fonction de $\,y\sp{1.5}.\,$
application bijective
L'application $\,f:E\to F\,$ est bijective ssi $f$ est injective et surjective.
En d'autres termes, ssi tout $\,y\app F\,$ a un et un seul antécédent $\,x\app E:\,$
$\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex\sp{1.5}!\, x\app E,\ y=f(x)$
application réciproque
Toute $\,f:E\to F\,$ bijective admet une réciproque : $\,f^{-1}:F\to E\sp{1.5}.\,$
$\,f^{-1}\,$ associe à tout $\,y\app F\,$ son unique antécédent $\,x=f^{-1}(y)\sp{1.5}.\,$
Cette réciproque est elle-même bijective, avec : $\,(f^{-1})^{-1}=f\sp{1.5}.\,$
permutation
Une permutation d'un ensemble $E$ est une bijection de $E$ vers $E\sp{1.5};$ on note $\sc S(E)$ l'ensemble de ces permutations.
indication
Pour $\,y\app\bb R\,$ fixé, résoudre l'équation : $\,\sigma(x)\,x^2=y\sp{1.5},\,$ en distinguant les deux cas $\,y\geq0\,$ et $\,y < 0\sp{1.5}.\,$
figure
Représentations de $\,f\,$ et de $\,g:x\mapsto x^2\,$
réponse
$f$ est bien une permutation de $\,\bb R\sp{1.5},\,$ et on a :
$\,\ptt y\app\bb R, \ f^{-1}(y)=\sigma(y){\textstyle\sqrt{|\sp{1.5}y\sp{1.5}|}}\,.\,$
correction
Une
Une application $\,f:E\to F,\ x\mapsto y=f(x)\,$ entre deux ensembles $E$ et $F\sp{1.5},$ associe à tout $\,x\app E\,$ un et un seul $\,y\app F\sp{1.5}.\,$
application
$\,f:\bb R\to\bb R\,$ est
- Si $x\app E,$ l'unique $y\app F\,$ tel que $\,y=f(x)\,$ est l'image de $x\,;$
- si $y\app F,$ un $x\app E\,$ tel que $\,y=f(x)\,$ est un antécédent de $y\sp{1.5}.$
L'application $\,f:E\to F\,$ est bijective ssi $f$ est injective et surjective.
En d'autres termes, ssi tout $\,y\app F\,$ a un et un seul antécédent $\,x\app E:\,$
bijective
si et seulement si, pour tout $\,y\app\bb R,\,$ il existe un unique $\,x\app\bb R\,$ tel que $\,f(x)=y\,.\,$
En d'autres termes, il s'agit d'établir que chaque équation $\,f(x)=y\,$ admet pour $\,y\app\bb R\,$ une unique solution $\,x\,$ dans $\,\bb R\sp{1.5}.\,$
Pour tout $\,y\app\bb R\,$ fixé, on veut donc résoudre l'équation : $\,\sigma(x)\sp{.75}x^2=y\sp{1.5},\,$ d'inconnue $\,x\sp{1.5}.\,$
Le nombre $\,\sigma(x)\,$ vaut $\,+1\,$ ou $\,-1\,$ selon le signe de $\,x\sp{1.5},\,$ et $\,0\,$ lorsque $\,x=0\sp{1.5}.\,$
Les réels $\,x\,$ et $\,y=f(x)\,$ sont donc de même signe si bien que, par définition de la
$\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex\sp{1.5}!\, x\app E,\ y=f(x)$
La racine carrée de $y\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0$ est l'unique $x=\!\sqrt{y\,}\geq0$ tel que $\,x^2\!=y\sp{1.5}.\,$
$\syst{\sp{1.5}\bb R_+\!&\to\bb R_+\\[-1ex] x\ &\mapsto x^2}$ et $\,\syst{\sp{1.5}\bb R_+\!&\to\bb R_+\\[-1ex] y\ &\mapsto\sqrt{y}}\,$ sont réciproques l'une de l'autre.
On a alors : $\,\sth1\ptt x\app\bb R\sp{1.5},\,\sqrt{\sth{.25}x^2\sp{1.5}}=|x|\sp{1.5},\,$ et : $\,\ptt y\geq0\sp{1.5},\ (\sp{-1.5}\sqrt{y\,})^2=y\sp{1.5}.\,$
racine
carrée :
$\eqalign{&y=f(x)=&\ \,x^2&\geq0\Ssi x=\sqrt{\ph{-}\sp{-12}y\,}\geq0\\[-.5ex]
&y=f(x)=&-x^2&< 0\Ssi x=-\sqrt{-y\,} < 0}$
On a donc : $\,\sigma(y)=\sigma(x)\sp{1.5},\,$ et obtient en définitive : $\,f(x)=y\Ssi x=\sigma(y)\sqrt{\sp{1.5}|\sp{1.5}y\sp{1.5}|\sp{1.5}}\sp{1.5}.\,$
Tout $\,y\app\bb R\,$ ayant un et un seul antécédent $\,x\app \bb R\sp{1.5},\,$ $\,f\,$ est une
L'application $\,f:E\to F\,$ est bijective ssi $f$ est injective et surjective.
En d'autres termes, ssi tout $\,y\app F\,$ a un et un seul antécédent $\,x\app E:\,$
bijection
de $\,\bb R\,$ vers $\,\bb R\sp{1.5},\,$ c'est-à -dire une
$\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex\sp{1.5}!\, x\app E,\ y=f(x)$
Une permutation d'un ensemble $E$ est une bijection de $E$ vers $E\sp{1.5};$ on note $\sc S(E)$ l'ensemble de ces permutations.
permutation
de $\,\bb R\sp{1.5}.\,$
On a de plus établi l'expression de sa
Toute $\,f:E\to F\,$ bijective admet une réciproque : $\,f^{-1}:F\to E\sp{1.5}.\,$
$\,f^{-1}\,$ associe à tout $\,y\app F\,$ son unique antécédent $\,x=f^{-1}(y)\sp{1.5}.\,$
Cette réciproque est elle-même bijective, avec : $\,(f^{-1})^{-1}=f\sp{1.5}.\,$
réciproque :
$\,\ptt y\app\bb R\sp{1.5},\ f^{-1}(y)=\sigma(y)\sqrt{\sp{1.5}|\sp{1.5}y\sp{1.5}|\sp{1.5}}\sp{1.5}.\,$
|
Représentations de $\,f\,$ et de $\,g:x\mapsto x^2\,$
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Exercice b
\\(\def\e#1{\lfloor#1\rfloor}\\) On considère l'application :
$\,f:\Syst{\,\bb R&\to\bb R\sp{1.5},\\[-.5ex] \,x&\mapsto 2\sp{1.5}\e x+1-x\sp{1.5}.}\,$
Montrer que $f$ est une permutation de $\bb R\sp{1.5}.$
L'application $f$ est-elle involutive ?
application bijective
L'application $\,f:E\to F\,$ est bijective ssi $f$ est injective et surjective.
En d'autres termes, ssi tout $\,y\app F\,$ a un et un seul antécédent $\,x\app E:\,$
$\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex\sp{1.5}!\, x\app E,\ y=f(x)$
application réciproque
Toute $\,f:E\to F\,$ bijective admet une réciproque : $\,f^{-1}:F\to E\sp{1.5}.\,$
$\,f^{-1}\,$ associe à tout $\,y\app F\,$ son unique antécédent $\,x=f^{-1}(y)\sp{1.5}.\,$
Cette réciproque est elle-même bijective, avec : $\,(f^{-1})^{-1}=f\sp{1.5}.\,$
permutation
Une permutation d'un ensemble $E$ est une bijection de $E$ vers $E\sp{1.5};$ on note $\sc S(E)$ l'ensemble de ces permutations.
indication
1
Pour $\,y\app\bb R\,$ fixé, résoudre l'équation d'inconnue $\,x\app\bb R:\,$ $\,2\e x + 1-x=y\,.\,$
indication
2
Pour $\,x\app\bb R\,$ et $\,y=f(x)\sp{1.5},\,$ déterminer une relation entre $\e x$ et $\e y\sp{1.5}.$
figure
Représentation graphique de $f$
réponse
L'application $f$ est bijective, et c'est donc bien une permutation de $\,\bb R\sp{1.5}.\,$
$f$ n'est pas involutive car, lorsque $\,x\app\bb Z\,$ on n'a pas : $\,(f\circ f)(x)=x\sp{1.5}.\,$
correction
Une
Une application $\,f:E\to F,\ x\mapsto y=f(x)\,$ entre deux ensembles $E$ et $F\sp{1.5},$ associe à tout $\,x\app E\,$ un et un seul $\,y\app F\sp{1.5}.\,$
application
$\,f:\bb R\to\bb R\,$ est
- Si $x\app E,$ l'unique $y\app F\,$ tel que $\,y=f(x)\,$ est l'image de $x\,;$
- si $y\app F,$ un $x\app E\,$ tel que $\,y=f(x)\,$ est un antécédent de $y\sp{1.5}.$
L'application $\,f:E\to F\,$ est bijective ssi $f$ est injective et surjective.
En d'autres termes, ssi tout $\,y\app F\,$ a un et un seul antécédent $\,x\app E:\,$
bijective
si et seulement si, pour tout $y\app\bb R,$ il existe un unique $x\app\bb R$ tel que : $\,f(x)=y\sp{1.5}.\,$
En d'autres termes, il s'agit d'établir que chaque équation $\,f(x)=y\,$ admet pour $\,y\app\bb R\,$ une unique solution $\,x\,$ dans $\bb R\sp{1.5}.$
Pour $y\app\bb R$ fixé, on veut donc résoudre l'équation : $\,2\e x + 1-x=y\sp{1.5},\,$ d'inconnue $\,x\sp{1.5}.\,$
Par définition de la partie
$\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex\sp{1.5}!\, x\app E,\ y=f(x)$
Pour tout $x\app\bb R\sp{1.5},$ il existe un plus grand $\,k\app\bb Z\,$ tel que $\,k\leq x\,.\,$
Cet entier unique noté $\lfloor x\rfloor$ est caractérisé par l'encadrement :
entière
de $\,x\sp{1.5},\,$ on obtient, en changeant les signes, puis en
$\displaystyle{}\lfloor x\rfloor\leq x < \lfloor x\rfloor +1$
La relation d'ordre sur $\bb R$ est compatible avec la somme :
ajoutant
$\,2\e x+1\,$ de part et d'autre :
- $\,\big(\sp{1.5}a\leq a' \ \text{ et }\ b\leq b'\sp{1.5}\big)\Imp a+b\leq a'+b'\,;\,$
- $\,\big(\sp{1.5}a\leq a' \ \text{ et }\ b < b'\sp{1.5}\big)\Imp a+b < a'+b'\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\e x\leq x < \e x +1&\Ssi-\e x-1 < -x \leq -\e x\\
&\Ssi \e x < 2\e x + 1-x \leq \e x+1\\
&\Ssi \ph{---}\e x < y\leq\e x+1}$
On a presque la caractérisation de la partie
Pour tout $x\app\bb R\sp{1.5},$ il existe un plus grand $\,k\app\bb Z\,$ tel que $\,k\leq x\,.\,$
Cet entier unique noté $\lfloor x\rfloor$ est caractérisé par l'encadrement :
entière
de $\,y\,;\,$ on en déduit l'unicité de l'entier $\e x$ correspondant à $\,y=f(x):\,$ $\displaystyle{}\lfloor x\rfloor\leq x < \lfloor x\rfloor +1$
$\displaystyle{}\e x=\Syst{\e y \ph{-}&\ \text{ si }\ y\!\notin\!\bb Z\\
\,\e y -1&\ \text{ si }\ y\app\bb Z}$
Tout réel $\,y\,$ a donc un et un seul antécédent par $f$ :
$\displaystyle{}x=2\e x + 1-y=\Syst{\,2\e y+1-y&=f(y)\ph{-}&\ \text{ si }\ y\!\notin\!\bb Z\\
2\e y-1-y&=f(y)-2&\ \text{ si }\ y\app\bb Z}$
Cela nous prouve que $f$ est bijective, si bien que $f$ est une
Une permutation d'un ensemble $E$ est une bijection de $E$ vers $E\sp{1.5};$ on note $\sc S(E)$ l'ensemble de ces permutations.
permutation
de $\bb R\sp{1.5}.$
L'expression de $\,f(x)\,$ montre que : $\,x\app\bb Z\Ssi y\app\bb Z\,;\,$ on peut donc exprimer la
Pour $\,f:E\to F\,$ et $\,g:F\to G\sp{1.5},\,$ la composée de $f$ par $\,g\,$ est :
composée
de $f$ par elle-même :
$\displaystyle{}\sth{.75}g\circ f:E\to \ G\sp{1.5},\ \sp{1.5}x\mapsto g(f(x))$
$\displaystyle{}(f\circ f)(x)=f(y)=\Syst{x\ph{-}&\ \text{ si }\ x\!\notin\!\bb Z\\\,x+2&\ \text{ si }\ x\app\bb Z}$
Ainsi, on n'a pas : $\,f\circ f=\op{Id}_{\bb R}\,,\,$ c'est-à-dire que l'application $f$ n'est pas
Une involution de $\,E\,$ est une $\,f:E\to E\,$ telle que : $\,f\circ f=\op{Id}_E\sp{1.5}.\,$
involutive.
Le graphique de $f$ n'est donc pas tout à fait symétrique par rapport à la bissectrice des axes :
|
Représentation graphique de $f$
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Exercice c
Étant donnés $\,n,b\app\bb N\,$ fixés, avec $\,b\geq2\sp{1.5},\,$ on associe à tout $\,x=(x_0,\dots,x_n)\app\,[\![\sp{1.5}0,b-1\sp{.75}]\!]^{n+1}\!\,$ l'entier naturel :
$\displaystyle{}f_n(x)=\smh{1.5}{\sum_{k=0}^{n}}x_k\sp{1.5}b^{n-k}$
Montrer qu'on définit ainsi une bijection de l'ensemble $\,[\![\sp{1.5}0,b-1\sp{.75}]\!]^{n+1}\!\,$ vers une partie de $\,\bb N\,$ à préciser.
application bijective
L'application $\,f:E\to F\,$ est bijective ssi $f$ est injective et surjective.
En d'autres termes, ssi tout $\,y\app F\,$ a un et un seul antécédent $\,x\app E:\,$
$\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex\sp{1.5}!\, x\app E,\ y=f(x)$
application réciproque
Toute $\,f:E\to F\,$ bijective admet une réciproque : $\,f^{-1}:F\to E\sp{1.5}.\,$
$\,f^{-1}\,$ associe à tout $\,y\app F\,$ son unique antécédent $\,x=f^{-1}(y)\sp{1.5}.\,$
Cette réciproque est elle-même bijective, avec : $\,(f^{-1})^{-1}=f\sp{1.5}.\,$
permutation
Une permutation d'un ensemble $E$ est une bijection de $E$ vers $E\sp{1.5};$ on note $\sc S(E)$ l'ensemble de ces permutations.
indication
1
Démontrer d'abord que $f_n$ applique l'ensemble $\,[\![\sp{1.5}0,b-1\sp{.75}]\!]^{n+1}\,$ dans le segment d'entiers : $\,[\![\sp{1.5}0,b^{n+1}-1\sp{.75}]\!]\,.\,$
indication
2
Établir par récurrence sur $\,n\,$ la surjectivité des applications $\,f_n:\sp{1.5}[\![\sp{1.5}0,b-1\sp{.75}]\!]^{n+1}\sp{-1.5}\to\sp{1.5}[\![\sp{1.5}0,b^{n+1}-1\sp{.75}]\!]\,.\,$
réponse
Pour tout $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ $f_n$ est une bijection, de $\,[\![\sp{1.5}0,b-1\sp{.75}]\!]^{n+1}\!\,$ vers le segment d'entiers : $\,[\![\sp{1.5}0,b^{n+1}-1\sp{.75}]\!]\,.\,$
correction
On commence par majorer $\,f_n(x)\,$ au moyen d'une somme factorisée :
$\displaystyle{}0\leq f_n(x)=\sum_{k=0}^{n}x_k\sp{1.5}b^{n-k}\leq(b-1)\sum_{k=0}^{n}b^{n-k}$
En
Dans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut retourner
les indices avec $\,h=p-k\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$
retournant
les indices, avec $\,h=n-k\sp{1.5},\,$ on reconnaît une
$\displaystyle{}\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=p-n}^{p-m}\!\!x_{p-h}$
Pour tout $\,q\app\bb C\!\setminus\!\{1\}\,$ et $n\app\bb N,$ on a la somme géométrique :
somme
géométrique, d'où :
$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
$\displaystyle{}0\leq f_n(x)\leq(b-1)\sum_{h=0}^{n}b^h=b^{n+1}-1$
On peut donc considérer $f_n$ comme une
Une application $\,f:E\to F,\ x\mapsto y=f(x)\,$ entre deux ensembles $E$ et $F\sp{1.5},$ associe à tout $\,x\app E\,$ un et un seul $\,y\app F\sp{1.5}.\,$
application
de $\,[\![\sp{1.5}0,b-1\sp{.75}]\!]^{n+1}\,$ vers le segment d'entiers : $\,[\![\sp{1.5}0,b^{n+1}-1\sp{.75}]\!]\sp{1.5}.\,$
On va démontrer par
- Si $x\app E,$ l'unique $y\app F\,$ tel que $\,y=f(x)\,$ est l'image de $x\,;$
- si $y\app F,$ un $x\app E\,$ tel que $\,y=f(x)\,$ est un antécédent de $y\sp{1.5}.$
Soit $P(n)$ une propriété dépendant d'un entier $\,n\geq n_0\,$ telle que :
récurrence
sur l'entier $\,n\,$ que les applications $f_n$ sont
- $P(n_0)$ soit vraie,
- et $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \big(P(n)\!\Imp\! P(n+1)\big).\,$
Une application $\,f:E\to F\,$ est surjective si et seulement si tout élément de $F$ a au moins un antécédent par $f$ dans $E:$
surjectives.
$\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex x\app E,\ y=f(x)$
- l'application $\,f_0: x_0\mapsto x_0\,$ est l'identité du segment $\,[\![\sp{1.5}0,b-1\sp{.75}]\!]\sp{1.5};\,$ elle est donc bien surjective ;
- en supposant $f_{n-1}$ surjective pour $\,n\geq1\sp{1.5},\,$ tout $\,y\app\,[\![\sp{1.5}0,b^{n+1}-1\sp{.75}]\!]\,$ s'écrit par
Pour $\,a,b\app\bb Z\,$ et $\,b\neq0\sp{1.5},\,$ il existe un et un seul $\,(q,r)\app\bb Z^2\,$ tel que :division euclidienne : $\,y=b\sp{1.5}q+r\sp{1.5},\,$ avec $\,r\app\,[\![\sp{1.5}0,b-1\sp{.75}]\!]\sp{1.5}.\,$ On peut alors encadrer le quotient $\,q\,$ car, sachant que : $\,0\leq y\leq b^{n+1}-1\sp{1.5},\,$ on a :$\displaystyle{}a=b\sp{1.5}q+r\,\txt{et}\,0\leq r< |b|$$q$ et $r$ sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $a$ par $b\sp{1.5}.$$\displaystyle{} -1 < -\frac rb\leq q=\frac{y-r}b\leq b^n-\frac 1b-\frac rb < b^n$ParSoient $a$ et $b$ deux entiers relatifs ; on a alors l'équivalence :propriété des nombres entiers, il s'ensuit que $\,q\,$ appartient au segment $\,[\![\sp{1.5}0,b^n-1\sp{.75}]\!]\sp{1.5}.\,$ $f_{n-1}$ étant supposée surjective, il existe donc $\,x'=(x_0,\dots,x_{n-1})\app\,[\![\sp{1.5}0,b-1\sp{.75}]\!]^n\,$ tel que $\,q=f_{n-1}(x')\sp{1.5}.\,$ $f_n$ est alors surjective puisque, en posant $\,x_n=r\sp{1.5},\,$ il existe $\,x=(x_0,\dots,x_{n-1},x_n)\app\,[\![\sp{1.5}0,b-1\sp{.75}]\!]^{n+1}\sp{-1.5},\,$ tel que :$\displaystyle{}a > b\Ssi a\geq b+1$$\eqalign{ y=b\sp{1.5}q+r&=b\sp{1.5}f_{n-1}(x')+x_n=b\sp{1.5}\smh{1.5}{\smb0{\Big(\sum_{k=0}^{n-1}x_k\sp{1.5}b^{n-1-k}\Big)}}+x_n\\[-.5ex]& =\sum_{k=0}^{n}x_k\sp{1.5}b^{n-k}=f_n(x)}$
Un produit $\,E_1\times\cdots\times E_p\,$ d'ensembles finis $\,E_1,\dots,E_p\,$ est fini, avec :
cardinal
$\,b^{n+1}\sp{1.5},\,$ $f_n$ est donc une
$\displaystyle{}\op{card}(E_1\times\cdots\times E_p)=\op{card}(E_1)\times\cdots\times\op{card}(E_p)$
$\,\op{card}(E^p)=\op{card}(E)^p\,$ est aussi le nombre d'applications d'un ensemble de cardinal $p$ vers $E\sp{1.5}.$
Soient $\,E\,$ et$\,E'\,$ deux ensembles finis de même cardinal ; alors :
bijection.
- $\,f:E\to E'\,$ est une bijection ssi $f$ est injective ;
- $\,f:E\to E'\,$ est une bijection ssi $f$ est surjective.
La réciproque $\,f_n^{-1}:y\mapsto x=(x_0,\dots,x_n)\,$ nous fournit l'écriture de $\,y\,$ dans un système de numération de base $\,b:\,$
- Dans le cas $\,b=10,\,$ $\,(x_0,\dots,x_n)\,$ est la suite des chiffres de l'écriture décimale de $\,y\,;\,$
- dans le cas $\,b=2\sp{1.5},\,$ $\,(x_0,\dots,x_n)\,$ est la suite des bits de l'écriture binaire de $\,y\sp{1.5},\,$ utilisée en informatique.
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Exercice d
Étant donnés $\,s_0=0\,$ et, pour tout $\,k\app\bb N^{\ast}\!:\,$ $\,s_k=1+\cdots+k\,,\,$ on considère l'application :
$\displaystyle{}f:\Syst{\smh0{\bb N^2}\,\ &\to &\ \,\bb N\\[-1ex]\,(n,p)&\mapsto &\smb0{s_{n+p}}+p}$
Pour $(n,p)\app\bb N^2\sp{1.5},$ déterminer le plus grand $\,k\app\bb N\,$ tel que : $\,s_k\leq f(n,p)\sp{1.5}.\,$
En déduire que l'application $f$ est une bijection entre $\,\bb N^2\,$ et $\,\bb N\sp{1.5}.\,$
application bijective
L'application $\,f:E\to F\,$ est bijective ssi $f$ est injective et surjective.
En d'autres termes, ssi tout $\,y\app F\,$ a un et un seul antécédent $\,x\app E:\,$
$\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex\sp{1.5}!\, x\app E,\ y=f(x)$
application réciproque
Toute $\,f:E\to F\,$ bijective admet une réciproque : $\,f^{-1}:F\to E\sp{1.5}.\,$
$\,f^{-1}\,$ associe à tout $\,y\app F\,$ son unique antécédent $\,x=f^{-1}(y)\sp{1.5}.\,$
Cette réciproque est elle-même bijective, avec : $\,(f^{-1})^{-1}=f\sp{1.5}.\,$
permutation
Une permutation d'un ensemble $E$ est une bijection de $E$ vers $E\sp{1.5};$ on note $\sc S(E)$ l'ensemble de ces permutations.
indication
1
Commencer par montrer l'encadrement suivant :
$\displaystyle{}\ptt (n,p)\app\bb N^2,\ \,s_{n+p}\leq f(n,p) < s_{n+p+1}$
indication
2
En déduire, pour tout $\,m\app\bb N\,$ fixé, l'existence et l'unicité de son antécédent $\,(n,p)\app\bb N^2\,$ par l'application $f\sp{1.5}.$
réponse
On obtient : $\,\max\ens{k\app \bb N}{s_k\leq f(n,p)}=n+p\sp{1.5}.\,$
On en déduit que $f$ est bien une bijection de $\,\bb N^2\,$ vers $\,\bb N\sp{1.5}.\,$
correction
On remarque d'abord que, pour tout $\,(n,p)\app\bb N^2:\,$
$\displaystyle{}s_{n+p}\leq f(n,p)=s_{n+p}+p< s_{n+p}+(n+p+1)=s_{n+p+1}$
Par sa définition, la suite $\,(s_k)_{k\app\bb N}\,$ est
Une suite réelle $(u_n)_{n\geq n_0}$ est monotone ssi elle est :
croissante ;
sachant que $\,k > n+p\,$
- soit croissante, autrement dit : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\leq u_{n+1}\sp{1.5},\,$
- soit décroissante, c'est-à-dire : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\geq u_{n+1}\sp{1.5}.\,$
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs ; on a alors l'équivalence :
implique
$\,k\geq n+p+1\sp{1.5},\,$ on a :
$\displaystyle{}a > b\Ssi a\geq b+1$
- d'une part : $\,k\leq n+p\Imp s_k\leq s_{n+p}\leq f(n,p)\,;\,$
- d'autre part : $\,k > n+p\Imp s_k\geq s_{n+p+1}>f(n,p)\sp{1.5}.\,$
Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$
Un élément $\,M\,$ de $\,E\,$ est un majorant de $A$ ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\leq M\sp{1.5}.\,$
Si $\,M\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus grand élément de $A:$ $\,M=\max A\sp{1.5}.\,$
plus grand
entier $\,k\,$ tel que $\,s_k\,$ minore $\,f(n,p):\,$
$\displaystyle{}\max\ens{k\app \bb N}{s_k\leq f(n,p)}=n+p$
Étant donné $\,m\app\bb N,\,$ on considère : $\,q=\max\ens{k\app \bb N}{s_k\leq m}\!\cdot\,$
- On pose alors : $\,p=m-s_q\,,\,$ qui est un entier naturel car : $\,s_q\leq m\sp{1.5},\,$
- puis : $\,n=q-p\sp{1.5},\,$ qui est aussi un entier
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs ; on a alors l'équivalence :positif, puisque : $\,s_{q+1} > m\sp{1.5},\,$ d'où :$\displaystyle{}a > b\Ssi a\geq b+1$$\displaystyle{}q-(m-s_q)=s_q+q-m=s_{q+1}-1-m > -1$
Une application $\,f:E\to F\,$ est surjective si et seulement si tout élément de $F$ a au moins un antécédent par $f$ dans $E:$
surjective.
De plus, cet antécédent $(n,p)$ de $\,m\,$ par $f$ est unique, c'est-à-dire que $f$ est
$\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex x\app E,\ y=f(x)$
Une application $\,f:E\to F\,$ est injective si et seulement si tout élément de $F$ a au plus un antécédent par $f$ dans $E:$
injective,
car :$\displaystyle{}\ptt x,x'\app E,\ \big(f(x)=f(x')\Imp x=x'\sp{1.5}\big)$
- $\,q=\max\ens{k\app \bb N}{s_k\leq m}\,$ est unique,
- d'où l'unicité de : $\,p=m-s_{q}\sp{1.5},\,$ puis celle de : $\,n=q-p\sp{1.5}.\,$
L'application $\,f:E\to F\,$ est bijective ssi $f$ est injective et surjective.
En d'autres termes, ssi tout $\,y\app F\,$ a un et un seul antécédent $\,x\app E:\,$
bijection
de $\,\bb N^2\,$ vers $\,\bb N\,;\,$ ceci constitue une preuve que $\,\bb N^2\,$ est
$\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex\sp{1.5}!\, x\app E,\ y=f(x)$
Un ensemble $E$ est dit dénombrable ssi il existe une bijection entre $E$ et $\,\bb N\sp{1.5}.\,$
Tout ensemble en bijection avec un ensemble dénombrable est donc dénombrable.
dénombrable.
Considérons un tableau infini représentant $\,\bb N^2,\,$ avec pour entrées $\,n\,$ et $\,p\,$ et de diagonales caractérisées par : $\,n+p=q\sp{1.5}.\,$
L'application $f$ correspond au remplissage de ce tableau diagonale par diagonale, et par valeurs croissantes de $\,p\sp{1.5}.\,$
Voici une représentation partielle d'un tel tableau, pour $\,(n,p)\app\,[\![\sp{1.5}0,4\sp{1.5}]\!]^2\,$ et $\,f(n,p)\leq 14:\,$
| $\require{color}\colorbox{white}{$\eqalign{\lower 1ex{n}\ \raise .5ex{p}&\tabl{{|c|c|c|c|c|}\hline \sp{1.5}0&1&2&3&\sp{-1.5}4\sp{1.5}\\ \hline}\\[-.4ex] \tabl{{|c|}\hline \sp{1.5}0\sp{1.5}\stb{.6}\\ \hline 1\stb{.6}\\ \hline 2\stb{.6}\\ \hline 3\stb{.6}\\ \hline 4\stb{.7}\\\hline}&\!\sp{-1.5} \eqalign{ &\tabl{{|c|c|c|c|c|}\hline \sp{1.5}0&2&5&9&\!\!14\!\\ \hline}\\[-5px] &\tabl{{|c|c|c|c|} \sp{1.5}1&4&8&\sp{.75}\!\!13\!\\ \hline}\\[-5px] &\tabl{{|c|c|c|} \sp{1.5}3&7&\sp{1.5}\!\!12\!\\ \hline}\\[-5px] &\tabl{{|c|c|} \sp{1.5}6&\sp{.75}\!\!11\!\\ \hline}\\[-5px] &\tabl{{|c|c|} \sp{.75}\sp{1.5}\!\!10\!\sp{1.5}\\ \hline}} }$}$ |