exercices de mathématiques - prépa et université

Lorsque $\,n\,$ est

Un entier relatif $a$ est pair  ssi  il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire  ssi  il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$

Les entiers non pairs  sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$

pair, il est

$\,a\app\bb Z\,$ est  un diviseur de $\,b\app\bb Z\,$ ssi $\,b\,$ est  un multiple de $\,a\sp{1.5},\,$ soit :

$\displaystyle{}\iex q\app\bb Z,\ b=a\sp{1.5}q$

On écrit : $\,a\sp{1.5}\big|\sp{1.5}b\sp{1.5},\,$ et $\,a\sp{1.5}\bb Z\,$ désigne l'ensemble des multiples de $\,a\,$ dans $\bb Z\sp{1.5}.$

divisible par $\,2\sp{1.5},\,$ et donc :  $\,f(n)=\dfrac n2\app\bb N\subset \bb Z\sp{1.5}.\,$

Sinon, c'est $\,n+1\,$ qui est pair et divisible par $\,2\sp{1.5},\,$ d'où :  $\,f(n)=-\dfrac {n+1}2\app\bb Z\sp{1.5}.\,$

$f(n)$ est donc toujours un élément de $\,\bb Z\sp{1.5},\,$ unique car $\,n\,$ ne peut être à la fois pair et impair.

On a ainsi prouvé que $f$ définit une

Une application $\,f:E\to F,\ x\mapsto y=f(x)\,$ entre deux ensembles $E$ et $F\sp{1.5},$ associe à tout $\,x\app E\,$ un et un seul $\,y\app F\sp{1.5}.\,$

• Si $x\app E,$ l'unique $y\app F\,$ tel que $\,y=f(x)\,$ est l'image de $x\,;$
• si $y\app F,$ un $x\app E\,$ tel que $\,y=f(x)\,$ est un antécédent de $y\sp{1.5}.$

application de $\,\bb N\,$ vers $\,\bb Z\,.\,$

Soient $\,m,\sp{1.5}n\app\bb N\sp{1.5},\,$ tels que :  $\,f(m)=f(n)=k\app\bb Z\,;\,$ deux cas se présentent :

• si $\,k\geq0,\,$ on a alors :  $\,\smb1{\dfrac m2=\dfrac n2}\,,\,$ d'où $\,m=n\,;\,$
• si $\,k < 0,\,$ on a alors de même :  $\,\smb{1.3}{\smh1{-\dfrac{m+1}2=-\dfrac{n+1}2}}\,,\,$ d'où $\,m=n\sp{1.5}.\,$

Il s'ensuit que l'application $f$ est

Une application $\,f:E\to F\,$ est injective si et seulement si tout élément de $F$ a au plus un antécédent par $f$ dans $E:$

$\displaystyle{}\ptt x,x'\app E,\ \big(f(x)=f(x')\Imp x=x'\sp{1.5}\big)$

injective.

Considérons maintenant un élément quelconque $\,k\,$ dans $\,\bb Z:\,$

• si $\,k\geq0,\,$ on pose $\,n=2\sp{.75}k\app \bb N\,;\,$ ce $\,n\,$ est donc pair, avec :  $\,f(n)=\smb1{\dfrac n2}=k\,;\,$
• si $\,k < 0,\,$ on pose $\,n=-2\sp{.75}k-1\app \bb N\,;\,$ ce $\,n\,$ est donc impair, avec :  $\,f(n)=-\smb{1.3}{\smh1{\dfrac{n+1}2}}=k\sp{1.5}.\,$

Tout élément de $\,\bb Z\,$ a ainsi un antécédent dans $\,\bb N:\,$ $f$ est

Une application $\,f:E\to F\,$ est surjective si et seulement si tout élément de $F$ a au moins un antécédent par $f$ dans $E:$

$\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex x\app E,\ y=f(x)$

surjective.

On a finalement démontré que $f$ définit une

L'application $\,f:E\to F\,$ est bijective ssi $f$ est injective et surjective.

En d'autres termes, ssi tout $\,y\app F\,$ a un et un seul antécédent $\,x\app E:\,$

$\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex\sp{1.5}!\, x\app E,\ y=f(x)$

bijection entre $\,\bb N\,$ et $\,\bb Z\,.\,$

Il faut d'abord établir que $\,n^3-n\,$ est

$\,a\app\bb Z\,$ est  un diviseur de $\,b\app\bb Z\,$ ssi $\,b\,$ est  un multiple de $\,a\sp{1.5},\,$ soit :

$\displaystyle{}\iex q\app\bb Z,\ b=a\sp{1.5}q$

On écrit : $\,a\sp{1.5}\big|\sp{1.5}b\sp{1.5},\,$ et $\,a\sp{1.5}\bb Z\,$ désigne l'ensemble des multiples de $\,a\,$ dans $\bb Z\sp{1.5}.$

divisible par $\,6\,$ pour avoir $\,f(n)\app\bb N\sp{1.5}.\,$

Avec $\,n^3-n=(n-1)\sp{1.5}n\sp{1.5}(n+1),\,$ l'un des deux entiers consécutifs $\,n\,$ et $\,n+1\,$ est

Un entier relatif $a$ est pair  ssi  il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire  ssi  il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$

Les entiers non pairs  sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$

pair.

Il s'ensuit que $\,n(n+1)\,$ est pair, ainsi donc que $\,(n-1)\sp{1.5}n\sp{1.5}(n+1)\sp{1.5}.\,$

De même, avec la

Pour $\,a,b\app\bb Z\,$ et $\,b\neq0\sp{1.5},\,$ il existe  un et un seul $\,(q,r)\app\bb Z^2\,$ tel que :

$\displaystyle{}a=b\sp{1.5}q+r\,\txt{et}\,0\leq r< |b|$

$q$ et $r$  sont  le quotient et le reste de la division euclidienne de $a$ par $b\sp{1.5}.$

division euclidienne de $\,n\,$ par $\,3\sp{1.5},\,$ on a : $\,n=3\sp{.75}q+r\,$ pour $\,r\app\,\{0,1,2\}\!\cdot\,$

L'ensemble $\,\{r-1,\,r,\,r+1\}\,$ contient alors $\,0\,$ si $\,r\app\,\{0,1\}\sp{1.5},\,$ ou $\,3\,$ si $\,r=2\sp{1.5}.\,$

L'un des trois entiers $\,3\sp{.75}q+r-1\sp{1.5},\,$ $\,3\sp{.75}q+r\sp{1.5},\,$ $\,3\sp{.75}q+r+1\,$ étant divisible par $\,3\sp{1.5},\,$ $\,n^3-n\,$ est donc aussi divisible par $\,3\sp{1.5}.\,$

On a ainsi établi que le nombre $\,n^3-n\,$ est divisible par les deux nombres

Un nombre premier  est  un entier naturel $\,p\neq1\sp{1.5},\,$ ayant pour seuls diviseurs positifs $\,1\,$ et $\,p\sp{1.5}.\,$

L'ensemble des nombres premiers  est  un ensemble infini.

premiers $\,2\,$ est $\,3\sp{1.5}.\,$

Il est alors divisible par $\,6=2\times3\sp{1.5},\,$ car $\,2\,$ et $\,3\,$ figurent dans sa

Tout entier naturel $\,n\geq2\,$ admet une et une seule décomposition de la forme :

$\displaystyle{}n=p_1^{\alpha_1}\!\dots\, p_r^{\alpha_r},\ \txt{avec}p_1 < \cdots < p_r$

où les $p_i$ sont des nombres premiers et où les $\alpha_i$ appartiennent à $\bb N^{\ast}\!.$

décomposition en facteurs premiers.

Tout $\,n\app\bb N\,$ a donc une image $\,f(n)\,$ dans $\bb N\sp{1.5},$ nécessairement unique compte tenu de son expression.

On a ainsi démontré que $\,f:n\mapsto\dfrac{n^3-n}6\,$ définit bien une

Une application $\,f:E\to F,\ x\mapsto y=f(x)\,$ entre deux ensembles $E$ et $F\sp{1.5},$ associe à tout $\,x\app E\,$ un et un seul $\,y\app F\sp{1.5}.\,$

• Si $x\app E,$ l'unique $y\app F\,$ tel que $\,y=f(x)\,$ est l'image de $x\,;$
• si $y\app F,$ un $x\app E\,$ tel que $\,y=f(x)\,$ est un antécédent de $y\sp{1.5}.$

application de $\bb N$ vers $\bb N\sp{1.5}.$

On examine enfin les propriétés de cette application :

• On a d'abord $\,f(0)=f(1)=0\sp{1.5},\,$ si bien que $f$ n'est pas
  Une application $\,f:E\to F\,$ est injective si et seulement si tout élément de $F$ a au plus un antécédent par $f$ dans $E:$

  $\displaystyle{}\ptt x,x'\app E,\ \big(f(x)=f(x')\Imp x=x'\sp{1.5}\big)$
  injective ;
• on a ensuite : $\,f(2)=1\,$ et, par
  La relation d'ordre sur $\bb R_+$  est  compatible avec le produit :

  • $\,\big(\sp{1.5}0\leq a\leq a' \ \text{ et }\ 0\leq b\leq b'\sp{1.5}\big)\Imp 0\leq a\sp{1.5}b\leq a'\sp{1.5}b'\,;\,$
  • $\,\big(\sp{1.5}0 < a \leq a'\txt{et}0 < b < b'\sp{1.5}\big)\Imp 0 < a\sp{1.5}b < a'\sp{1.5}b'\sp{1.5}.\,$
  produit d'inégalités dans $\,\bb R_{+},\,$ on a pour $\,n\geq 3:\,$
  $\displaystyle{}f(n)=\smh{1.5}{\smb{1.3}{\dfrac{(n-1)\sp{1.5}n\sp{1.5}(n+1)}6\geq\dfrac{2\sp{1.5}.\sp{.75}3\sp{1.5}.\sp{.75}4}6}}=f(3)=4$
  Les nombres $\,2\,$ et $\,3\,$ n'ayant pas d'antécédent, $f$ n'est pas non plus
  Une application $\,f:E\to F\,$ est surjective si et seulement si tout élément de $F$ a au moins un antécédent par $f$ dans $E:$

  $\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex x\app E,\ y=f(x)$
  surjective.

$\,\Gamma\,$ est le

Le graphe de $\,f:E\to F\,$ est  l'ensemble $\,\Gamma\subset E\times F\,$ défini par :

$\displaystyle{}\Gamma= \ens{\sp{1.5}(x,f(x))}{x\app E\,}$

graphe d'une

Une application $\,f:E\to F,\ x\mapsto y=f(x)\,$ entre deux ensembles $E$ et $F\sp{1.5},$ associe à tout $\,x\app E\,$ un et un seul $\,y\app F\sp{1.5}.\,$

• Si $x\app E,$ l'unique $y\app F\,$ tel que $\,y=f(x)\,$ est l'image de $x\,;$
• si $y\app F,$ un $x\app E\,$ tel que $\,y=f(x)\,$ est un antécédent de $y\sp{1.5}.$

application si, pour tout $\,x\app E\sp{1.5},\,$ il existe un unique $\,A\app\sp{-1.5}\sc U\,$ tel que $\,(x,A)\app\Gamma,\,$ c'est-à-dire tel que $\,x\app A\sp{1.5}.\,$

Soit $x$ un élément de $E\,;$ il résulte alors de la définition d'une

Une partition d'un ensemble $E$  est  un ensemble $\sc U$ de parties de $\,E:\,$

• non vides : $\,\ptt A\app\sc U,\ A\neq\vide\sp{1.5},\,$
• deux à  deux disjointes : $\,\ptt A,B\app\sc U\sp{1.5},\ (A\neq B\Imp A\cap B=\vide)\sp{1.5},\,$
• et recouvrant $\,E:\,$ $\,\smh0{\Op{\Large\cup}_{A\app \sc U}}A=E\sp{1.5}.\,$

partition que :

• Il existe bien un $A\app\sc U$ tel que $\,(x,A)\app\Gamma\sp{1.5},\,$ car $E$ est la
  Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille de parties d'un ensemble $E\,;$ la réunion des $A_i$  est  l'ensemble des éléments de $E$ appartenant à l'un des $A_i:$

  $\displaystyle{}\bigcup_{i\app I}A_i=\ens{x\app E}{\iex i\app I,\ x\app A_i}$
  réunion des éléments de $\sc U:$
  $\displaystyle{}x\app E=\!\!\smash{\Op{\Large\cup}_{A\app \sc U}}\!A\Imp\iex A\app\sp{-1.5}\sc U,\ x\app A$
• Un tel $A$ est unique ; en effet, si on a : $\,(x,A)\app\Gamma\txt{et}(x,B)\app\Gamma\sp{1.5},\,$ on en déduit $\,x\app A\cap B\sp{1.5}.\,$
  Sachant que deux éléments $A$ et $B$ de $\sc U$ sont, soit confondus, soit disjoints, il s'ensuit que : $\,A=B\sp{1.5}.\,$

$\Gamma$ est donc bien le graphe d'une

Une application $\,f:E\to F,\ x\mapsto y=f(x)\,$ entre deux ensembles $E$ et $F\sp{1.5},$ associe à tout $\,x\app E\,$ un et un seul $\,y\app F\sp{1.5}.\,$

• Si $x\app E,$ l'unique $y\app F\,$ tel que $\,y=f(x)\,$ est l'image de $x\,;$
• si $y\app F,$ un $x\app E\,$ tel que $\,y=f(x)\,$ est un antécédent de $y\sp{1.5}.$

application $\,f:x\mapsto A_x\sp{1.5},\,$ de $E$ vers $\sc U.$

Cette application $f$ est de plus

Une application $\,f:E\to F\,$ est surjective si et seulement si tout élément de $F$ a au moins un antécédent par $f$ dans $E:$

$\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex x\app E,\ y=f(x)$

surjective ; en effet, tout $\,A\app\sp{-1.5}\sc U\,$ est non vide, d'où l'existence de $\,x\app A\sp{1.5}.\,$

Cet $\,x\,$ est donc un antécédent de $A,$ car on a alors : $\,A=A_x=f(x)\sp{1.5}.\,$

Pour que $f$ soit

Une application $\,f:E\to F\,$ est injective si et seulement si tout élément de $F$ a au plus un antécédent par $f$ dans $E:$

$\displaystyle{}\ptt x,x'\app E,\ \big(f(x)=f(x')\Imp x=x'\sp{1.5}\big)$

injective, il faudrait que tout $A\app\sp{-1.5}\sc U$ ait un antécédent unique, c'est-à-dire que $A$ soit un singleton.

La seule partition $\sc U$ pour laquelle $f$ est bijective est donc la partition formée des singletons de $E:$

On utilise ici l'interprétation

En géométrie, les éléments d'un espace vectoriel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :

• pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$  le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est  défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
• pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$  le point $\,B=A+\vec u\,$ est  tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$

Trois points $A,\sp{1.5}B,\sp{1.5}C$  vérifient alors la relation de Chasles :  $\,\smh0{\Vec{AB}+\Vec{BC}=\Vec{AC}}\sp{-1.5}.\,$

géométrique d'un plan vectoriel.

On distingue

Dans un plan vectoriel réel $P,$ deux droites affines $\sc D_1$ et $\sc D_2$ sont :

• soit confondues, si $\,\sc D_1=\sc D_2\,;\,$
• soit strictement parallèles, si $\,\sc D_1\cap\sc D_2=\vide\,;\,$
• soit sécantes, lorsqu'il existe $I\app P$ tel que : $\,\sc D_1\cap\sc D_2=\{I\}\cdot\,$

Dans les deux premiers cas, $\sc D_1$ et $\sc D_2$ sont parallèles : $\,\sc D_1/\!\sp{-1.5}/\sc D_2\sp{1.5}.\,$

deux cas, selon que les

Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{.75}.$

La droite affine $\sc D$ passant par le point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ est  l'ensemble :

$\displaystyle{}\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u}{\lambda\app\bb R}$

droites affines $\sc D$ et $\sc D^{\sp{1.5}\prime}$ sont

Dans un plan vectoriel réel $P,$ deux droites affines $\sc D_1$ et $\sc D_2$ sont :

• soit confondues, si $\,\sc D_1=\sc D_2\,;\,$
• soit strictement parallèles, si $\,\sc D_1\cap\sc D_2=\vide\,;\,$
• soit sécantes, lorsqu'il existe $I\app P$ tel que : $\,\sc D_1\cap\sc D_2=\{I\}\cdot\,$

Dans les deux premiers cas, $\sc D_1$ et $\sc D_2$ sont parallèles : $\,\sc D_1/\!\sp{-1.5}/\sc D_2\sp{1.5}.\,$

sécantes ou parallèles :

• si $\sc D$ et $\sc D^{\sp{1.5}\prime}$ sont sécantes, on considère la droite $\Delta$
  Soient, dans plan vectoriel réel $P,$ une droite affine $\sc D$ et un point $A\notin \sc D\,.$

  Alors, il existe une et une seule droite affine $\sc D'$ passant par $A$ et parallèle à $\sc D.$
  parallèle à $\sc D^{\sp{1.5}\prime}$ et passant par $\,\Omega\sp{1.5};\,$ elle coupe $\sc D$ en un point $N\sp{1.5}.$
  En effet, dans le cas contraire, on aurait une contradiction, puisque par
  Dans l'ensemble des droites affines d'un plan vectoriel réel $P,$ le parallélisme  est  une relation d'équivalence.
  transitivité :
  $\displaystyle{}\big(\sc D/\!\sp{-1.5}/\Delta\txt{et}\Delta/\!\sp{-1.5}/\sc D^{\sp{1.5}\prime}\big)\Imp \sc D/\!\sp{-1.5}/\sc D^{\sp{1.5}\prime}$
  Étant donné que $\,\Omega\non\app \sc D\sp{1.5},\,$ on a : $\,N\neq\Omega\sp{1.5},\,$ si bien que la droite $\Delta$ parallèle à $\sc D^{\sp{1.5}\prime}$ est la
  Soient deux points distincts $A$ et $B$ appartenant à un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

  Il existe une et une seule droite affine, notée $(AB),$ telle que $\,A\app\sp{1.5}(AB)\!\txt{et}\!B\app\sp{1.5}(AB):\,$

  $\displaystyle{}(AB)=A+\op{Vect}(\Vec{AB})=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\Vec{AB}}{\lambda\app\bb R}$
  droite $(\Omega N)\sp{1.5}.$
  Ainsi dans ce cas, le point $N'=f(N)$ n'existe pas : $f$ n'est pas une
  Une application $\,f:E\to F,\ x\mapsto y=f(x)\,$ entre deux ensembles $E$ et $F\sp{1.5},$ associe à tout $\,x\app E\,$ un et un seul $\,y\app F\sp{1.5}.\,$

  • Si $x\app E,$ l'unique $y\app F\,$ tel que $\,y=f(x)\,$ est l'image de $x\,;$
  • si $y\app F,$ un $x\app E\,$ tel que $\,y=f(x)\,$ est un antécédent de $y\sp{1.5}.$
  application de $\sc D$ vers $\sc D^{\sp{1.5}\prime}.$

• si $\sc D$ et $\sc D^{\sp{1.5}\prime}$ sont parallèles, tout $M\app\sc D$ est distinct de $\Omega\sp{1.5},$ car $\,\Omega\non\app \sc D\sp{1.5};\,$ $M$ définit donc une droite $(\Omega M)\sp{1.5}.$
  Cette droite $(\Omega M)$ qui coupe $\sc D\sp{1.5},$ coupe donc aussi $\sc D^{\sp{1.5}\prime}$ en un point unique $M'=f(M)\sp{1.5},$ car sinon on aurait :
  $\displaystyle{}\big(\sc D/\!\sp{-1.5}/\sc D^{\sp{1.5}\prime}\txt{et}\sc D^{\sp{1.5}\prime}/\!\sp{-1.5}/(\Omega M)\sp{1.5}\big)\Imp \sc D/\!\sp{-1.5}/(\Omega M)$
  Il s'ensuit que dans ce cas, on obtient bien une
  Une application $\,f:E\to F,\ x\mapsto y=f(x)\,$ entre deux ensembles $E$ et $F\sp{1.5},$ associe à tout $\,x\app E\,$ un et un seul $\,y\app F\sp{1.5}.\,$

  • Si $x\app E,$ l'unique $y\app F\,$ tel que $\,y=f(x)\,$ est l'image de $x\,;$
  • si $y\app F,$ un $x\app E\,$ tel que $\,y=f(x)\,$ est un antécédent de $y\sp{1.5}.$
  application $\,f:M\mapsto M'\,$ de $\sc D$ vers $\sc D^{\sp{1.5}\prime}.$

Le cas $\sc D$ et $\sc D^{\sp{.75}\prime}$ sécantes

Le cas $\sc D$ et $\sc D^{\sp{.75}\prime}$ parallèles

Lorsque $\,\sc D/\!\sp{-1.5}/\sc D^{\sp{1.5}\prime},\,$ les rôles de $\sc D$ et $M$ d'une part, et de $\sc D^{\sp{1.5}\prime}$ et $M'$ d'autre part, sont interchangeables.

Il existe alors une application $g:M'\mapsto M$ de $\sc D^{\sp{1.5}\prime}$ vers $\sc D,$ associant à tout $M'\app\sc D^{\sp{1.5}\prime}$ un unique $M\app \sc D.$

L'application $\,f\,$ est donc une

L'application $\,f:E\to F\,$ est bijective ssi $f$ est injective et surjective.

En d'autres termes, ssi tout $\,y\app F\,$ a un et un seul antécédent $\,x\app E:\,$

$\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex\sp{1.5}!\, x\app E,\ y=f(x)$

bijection de $\sc D$ vers $\sc D^{\sp{1.5}\prime},$ et l'application $\,g\,$ est sa

Toute $\,f:E\to F\,$ bijective admet une réciproque : $\,f^{-1}:F\to E\sp{1.5}.\,$

$\,f^{-1}\,$ associe à tout $\,y\app F\,$ son unique antécédent $\,x=f^{-1}(y)\sp{1.5}.\,$

Cette réciproque est elle-même bijective, avec : $\,(f^{-1})^{-1}=f\sp{1.5}.\,$

réciproque.