Sujet A.1.2 Réunion, intersection
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Exercice a
On considère, pour tout réel $\,m\,$ fixé, l'ensemble $\,\sc S_m\,$ des segments de $\bb R$ dont $\,m\,$ est une extrémité.
Étant donnés deux réels $\,a\,$ et $\,b\sp{1.5},\,$ déterminer l'ensemble $\,\sc S_a\cap\sc S_b\,$ en précisant selon les cas le nombre d'éléments de cet ensemble.
intersection de deux parties
Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E\sp{1.5}.$
L'intersection de $A$ et $B$ est l'ensemble des $x\app E$ appartenant à $\,A\,$ et à $\,B:\,$
$\displaystyle{}A\cap B=\ens{x\app E}{x\app A \,\text{ et }\,x\app B}$
réunion de deux parties
Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E\,.$ La réunion de $A$ et $B$ est l'ensemble des $x\app E$ appartenant à $\,A\,$ ou à $\,B:\,$
$\displaystyle{}A\cup B=\ens{x\app E}{x\app A \,\text{ ou }\,x\app B}$
différence entre deux parties
Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E\,.$ La différence entre $A$ et $B$ est l'ensemble des $\,x\app A\,$ n'appartenant pas à $\,B:\,$
$\displaystyle{}A\!\setminus\! B=\ens{x\app A}{x\notin B}$
Le complémentaire de $A$ dans l'ensemble $E$ est l'ensemble : $\displaystyle{}\complement_EA=E\!\setminus\!A=\ens{x\app E}{x\notin A}$
indication
1
Commencer par traiter le cas où $\,a=b\sp{1.5}.\,$
indication
2
S'assurer que l'ensemble obtenu est bien un ensemble formé de segments de $\bb R\sp{1.5}.$
réponse
- Lorsque $\,a=b\sp{1.5},\,$ on obtient : $\,\sc S_a\cap\sc S_b=\sc S_a=\sc S_b\ .\,$ L'ensemble $\,\sc S_a\cap\sc S_b\,$ contient alors une infinité d'éléments : tous les segments dont $\,a\,$ est une extrémité.
- Lorsque $\,a \neq b\sp{1.5},\,$ on a alors : $\,\Syst{\smh{0}{\,\sc S_a\cap\sc S_b=\big\{[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\big\}}& \text{si } \ a < b\,,\\[-.5ex] \smb{0}{\sc S_a\cap\sc S_b=\big\{[\sp{1.5}b,a\sp{1.5}]\big\}}& \text{si } \ b < a\,.}\stb3\,$ L'ensemble $\,\sc S_a\cap\sc S_b\,$ est alors un singleton, ne contenant que le seul segment d'extrémités $\,a\,$ et $\,b\sp{1.5}.\,$
correction
D'après la définition des
Un segment de $\bb R$ est un intervalle fermé et borné $[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ pour $\,a\leq b:\,$
segments,
on distingue les éléments de $\,\sc S_m\,$ selon que $\,m\,$ est leur extrémité gauche ou droite.
Ccet ensemble apparaît alors comme une
$\displaystyle{}[\sp{1.5}a\sp{1.5},b\sp{1.5}]=\{x\app \bb R\op{\big|}a\leq x\leq b\}$
Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E\,.$ La réunion de $A$ et $B$ est l'ensemble des $x\app E$ appartenant à $\,A\,$ ou à $\,B:\,$
réunion
de deux ensembles de segments :
$\displaystyle{}A\cup B=\ens{x\app E}{x\app A \,\text{ ou }\,x\app B}$
$\displaystyle{}\sc S_m=\big\{[\sp{1.5}x,m\sp{1.5}]\op{\big|}x\app\bb R, \,x \leq m\big\}\cup \big\{[\sp{1.5}m,x\sp{1.5}]\op{\big|}x\app\bb R, \,x \geq m\big\}$
On va devoir considérer deux cas :
- Si $\,a=b\sp{1.5},\,$ $\,\sc S_a\,$ et $\,\sc S_b\,$ coïncident, si bien que : $\,\sc S_a\cap\sc S_b=\sc S_a=\sc S_b\,.\,$
Cet ensemble est
Un ensemble $E$ est fini ssi il existe $n\app\bb N$ et une bijection :infini, puisqu'il contient tous les segments de $\bb R$ dont $\,a\,$ est une extrémité.$\displaystyle{}[\![1,n]\!]\tot E\sp{1.5},\ \,i\mapsto x_i$Cet entier $\,n\sp{1.5},\,$ unique, s'appelle le cardinal de $E:$ $\,\op{card}(E) =n\sp{1.5}.\,$
- L'ensemble vide est fini, avec : $\,\op{card}(\vide) =0\,;\,$
- les ensembles non finis sont les ensembles infinis.
- Si $\,a\neq b\sp{1.5},\,$ par définition de
Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E\sp{1.5}.$ L'intersection de $A$ et $B$ est l'ensemble des $x\app E$ appartenant à $\,A\,$ et à $\,B:\,$l'intersection, un élément de $\,\sc S_a\cap\sc S_b\,$ est un segment ayant pour extrémités $\,a\,$ et $\,b\sp{1.5}.\,$ Il n'en existe donc qu'un seul : le segment $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ si $\,a < b\sp{1.5},\,$ ou le segment $\,[\sp{1.5}b,a\sp{1.5}]\,$ si $\,b < a\sp{1.5}.\,$ Réciproquement, ce segment appartient bien à $\sc S_a$ et à $\sc S_b\sp{1.5},$ et donc à $\,\sc S_a\cap\sc S_b\sp{1.5},\,$ du fait de ses extrémités. On a ainsi établi que : $\,\sc S_a\cap\sc S_b=\big\{[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\big\}\,$ si $\,a < b\sp{1.5},\,$ et : $\,\sc S_a\cap\sc S_b=\big\{[\sp{1.5}b,a\sp{1.5}]\big\}\,$ si $\,b < a\sp{1.5}.\,$ Dans chacun de ces cas, $\,\sc S_a\cap\sc S_b\,$ contient un et un seul élément : le segment d'extrémités $\,a\,$ et $\,b\sp{1.5}.\,$$\displaystyle{}A\cap B=\ens{x\app E}{x\app A \,\text{ et }\,x\app B}$
On doit toujours identifier soigneusement la nature des éléments de l'ensemble recherché :
- Dans la réponse : $\,\sc S_a\cap\sc S_b=\big\{[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\big\}\,$ ou $\,\sc S_a\cap\sc S_b=\big\{[\sp{1.5}b,a\sp{1.5}]\big\}\sp{1.5},\,$ les accolades sont essentielles. En effet, l'ensemble obtenu est un singleton qui ne contient que le seul segment d'extrémités $\,a\,$ et $\,b\sp{1.5}.\,$
- Avec une réponse fausse comme : $\,\sc S_a\cap\sc S_b=[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ ou $\,\sc S_a\cap\sc S_b=[\sp{1.5}b,a\sp{1.5}]\sp{1.5},\,$ cette intersection contiendrait une infinité d'éléments. Tous les réels de ce segment appartiendraient à $\,\sc S_a\cap\sc S_b\,;\,$ mais $\,\sc S_a\cap\sc S_b\,$ est un ensemble de segments, et non un ensemble de réels.
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Exercice b
\\(\def\lc{[\![\sp{1.5}} \def\rc{\sp{1.5}]\!]}\\) Une partie $S$ de $\bb Z$ est un segment d'entiers si et seulement si il existe $\,a,b\app\bb Z\,$ avec $\,a\leq b\,$ tels que :
$\displaystyle{}S=\lc a,b\rc=\big\{k\app\bb Z\op{\big|}a\leq k\leq b\big\}$
Soient les segments d'entiers $\,S=\lc a,b\rc\,$ et $\,T=\lc c,d\rc\sp{1.5}.\,$
Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $\,a,b,c,d\app\bb Z\sp{1.5},\,$ pour que $\,S\cap T\,$ soit un segment d'entiers.
Montrer que cette condition suffit pour que $\,S\cup T\,$ soit un segment d'entiers ; est-ce une condition nécessaire ?
intersection de deux parties
Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E\sp{1.5}.$
L'intersection de $A$ et $B$ est l'ensemble des $x\app E$ appartenant à $\,A\,$ et à $\,B:\,$
$\displaystyle{}A\cap B=\ens{x\app E}{x\app A \,\text{ et }\,x\app B}$
réunion de deux parties
Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E\,.$ La réunion de $A$ et $B$ est l'ensemble des $x\app E$ appartenant à $\,A\,$ ou à $\,B:\,$
$\displaystyle{}A\cup B=\ens{x\app E}{x\app A \,\text{ ou }\,x\app B}$
différence entre deux parties
Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E\,.$ La différence entre $A$ et $B$ est l'ensemble des $\,x\app A\,$ n'appartenant pas à $\,B:\,$
$\displaystyle{}A\!\setminus\! B=\ens{x\app A}{x\notin B}$
Le complémentaire de $A$ dans l'ensemble $E$ est l'ensemble : $\displaystyle{}\complement_EA=E\!\setminus\!A=\ens{x\app E}{x\notin A}$
indication
1
Déterminer un encadrement caractérisant les éléments de $\,S\cap T\sp{1.5}.\,$
indication
2
Commencer par montrer l'inclusion de $\,S\cup T\,$ dans un segment d'entiers.
réponse
$\,S\cap T\,$ est un segment d'entiers si et seulement si : $\,\max(a,c)\leq\min(b,d).\,$
Cette condition est bien suffisante pour que $\,S\cup T\,$ soit un segment d'entiers,
mais ce n'est pas une condition nécessaire.
correction
On a par hypothèse : $\,a\leq b\,$ et $\,c\leq d\,;\,$ par définition de
Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E\sp{1.5}.$
L'intersection de $A$ et $B$ est l'ensemble des $x\app E$ appartenant à $\,A\,$ et à $\,B:\,$
l'intersection,
on peut écrire pour tout $\,k\app\bb Z:\,$
$\displaystyle{}A\cap B=\ens{x\app E}{x\app A \,\text{ et }\,x\app B}$
$\eqalign{k\app S\cap T&\Ssi (a\leq k\leq b)\ \op{et} \ (c\leq k\leq d)\\
&\Ssi (a\leq k\,\op{et}\,c\leq k)\ \op{et}\ (k\leq b\,\op{et}\,k\leq d)\\
&\Ssi\max(a,c)\leq k\leq \min(b,d)\\
&\Ssi k\app\,\lc\max(a,c),\sp{1.5}\min(b,d)\rc}$
Il s'ensuit que $\,S\cap T\,$ est un segment d'entiers si et seulement si : $\,\max(a,c)\leq\min(b,d)\sp{1.5}.\,$
Si $\,S\cup T\,$ est un segment d'entiers, il a nécessairement pour bornes les
Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$
Un élément $\,m\,$ de $\,E\,$ est un minorant de $A$ ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\geq m\sp{1.5}.\,$
Si $\,m\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus petit élément de $A:$ $\,m=\min A\sp{1.5}.\,$
plus petit
et
Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$
Un élément $\,M\,$ de $\,E\,$ est un majorant de $A$ ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\leq M\sp{1.5}.\,$
Si $\,M\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus grand élément de $A:$ $\,M=\max A\sp{1.5}.\,$
plus grand
éléments de $\,S\cup T:\,$
$\displaystyle{}\min(S\cup T)=\min(a,c)\txt{et}\max(S\cup T)=\max(b,d)$
Par définition de la
Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E\,.$ La réunion de $A$ et $B$ est l'ensemble des $x\app E$ appartenant à $\,A\,$ ou à $\,B:\,$
réunion,
on écrit alors pour tout $\,k\app\bb Z:\,$
$\displaystyle{}A\cup B=\ens{x\app E}{x\app A \,\text{ ou }\,x\app B}$
$\eqalign{k\app S\cup T&\Ssi (a\leq k\leq b)\ \op{ou} \ (c\leq k\leq d)\\
\text{d'où}:\ k\app S\cup T&\,\Imp \min(a,c)\leq k\leq\max(b,d)}$
Par définition de
Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$ ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$
l'inclusion,
on a donc : $\,S\cup T\subset\lc\min(a,c),\max(b,d)\rc\sp{1.5}.\,$
Supposons maintenant que $\,\max(a,c)\leq\min(b,d)\sp{1.5},\,$ et donc que $\,S\cap T\,$ soit un segment d'entiers non vide.
Pour un élément quelconque $\,u\,$ de $\,S\cap T\sp{1.5},\,$ le segment $\,\lc \min(a,c),u\rc\,$ est alors inclus dans $\,S\cup T\,$ car :
$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$
On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$
On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}\tabl{l{}\lc \min(a,c),u\rc=\lc a,u\rc\subset S \ \txt{si}a\leq c\\\lc \min(a,c),u\rc=\lc c,u\rc\subset T \ \txt{si}c < a}$
En distinguant de même $\,b\leq d\,$ et $\,d < b\sp{1.5},\,$ on a aussi : $\,\lc u,\max(b,d)\rc \,$ inclus dans $\,S\cup T\,,\,$ si bien que :
$\eqalign{&\lc\min(a,c),\max(b,d)\rc\subset S\cup T, \txt{puisque :}\\
&\lc\min(a,c),\max(b,d)\rc=\lc \min(a,c),u\rc\cup\lc u,\max(b,d)\rc }$
On a finalement prouvé
Deux ensembles $E$ et $F$ sont égaux ssi ils ont les mêmes éléments :
l'égalité :
$\,S\cup T=\lc\min(a,c),\max(b,d)\rc\sp{1.5}.\,$
Étant donné que $\,\min(a,c)\leq\max(a,c)\leq\min(b,d)\leq\max(b,d)\sp{1.5},\,$ il s'agit bien d'un segment d'entiers.
En revanche, la condition : $\,\max(a,c)\leq\min(b,d)\sp{1.5},\,$ n'est pas nécessaire pour que $\,S\cup T\,$ soit un segment d'entiers.
On peut le prouver en envisageant, par exemple, les cas où : $\,c=b+1\sp{1.5},\,$ puisqu'on a alors :
$\displaystyle{}E= F\Ssi \big(\sp{1.5}x\app E \ \Ssi\ x\app F\sp{1.5}\big)$
En d'autres termes, il s'agit d'une double inclusion : $\displaystyle{}E=F\Ssi\big(\sp{1.5}E\subset F\,\text{ et }\,F\subset E\sp{1.5}\big)$
$\eqalign{&\lc a,b\rc\cap\lc b+1,d\rc=\vide\\ \text{ mais :}\,&\lc a,b\rc\cup\lc b+1,d\rc=\lc a,d\rc}$
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Exercice c
Soit un plan vectoriel $P\sp{1.5};$ on considère, pour chaque point $M\app P,$ l'ensemble $\sc F_M$ des droites affines de $P$ passant par $M\sp{1.5}.$
Étant donnés deux points $A$ et $B$ du plan $ P,$ déterminer l'ensemble $\,\sc F_A\cap\sc F_B\sp{1.5},\,$ en précisant selon les cas le nombre d'éléments de cet ensemble.
intersection de deux parties
Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E\sp{1.5}.$
L'intersection de $A$ et $B$ est l'ensemble des $x\app E$ appartenant à $\,A\,$ et à $\,B:\,$
$\displaystyle{}A\cap B=\ens{x\app E}{x\app A \,\text{ et }\,x\app B}$
réunion de deux parties
Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E\,.$ La réunion de $A$ et $B$ est l'ensemble des $x\app E$ appartenant à $\,A\,$ ou à $\,B:\,$
$\displaystyle{}A\cup B=\ens{x\app E}{x\app A \,\text{ ou }\,x\app B}$
différence entre deux parties
Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E\,.$ La différence entre $A$ et $B$ est l'ensemble des $\,x\app A\,$ n'appartenant pas à $\,B:\,$
$\displaystyle{}A\!\setminus\! B=\ens{x\app A}{x\notin B}$
Le complémentaire de $A$ dans l'ensemble $E$ est l'ensemble : $\displaystyle{}\complement_EA=E\!\setminus\!A=\ens{x\app E}{x\notin A}$
indication
1
Commencer par traiter le cas où $\,A=B\sp{1.5}.\,$
indication
2
Par deux points distincts d'un plan, il passe une et une seule droite affine.
figure
Le cas $\,A\neq B:\,$ $\,\sc F_A\cap\sc F_B=\big\{(AB)\big\}\,$
réponse
On distingue deux cas :
- Lorsque $A=B\sp{1.5},$ on a : $\,\sc F_A\cap\sc F_B=\sc F_A=\sc F_B\,.\,$ $\,\sc F_A\cap\sc F_B\,$ contient alors une infinité d'éléments : toutes les droites affines passant par le point $\,A=B\sp{1.5}.\,$
- lorsque $A\neq B\sp{1.5},$ on a : $\,\sc F_A\cap\sc F_B=\smb0{\big\{(AB)\big\}}\!\cdot\,$ $\,\sc F_A\cap\sc F_B\,$ est alors un singleton ; il ne contient que l'unique droite affine passant par $A$ et $B:$ la droite $(AB)\sp{1.5}.$
correction
On utilise ici l'interprétation
En géométrie, les éléments d'un espace vectoriel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :
géométrique
d'un plan vectoriel.
Par définition d'une
- pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$ le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
- pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$ le point $\,B=A+\vec u\,$ est tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$
Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E\sp{1.5}.$
L'intersection de $A$ et $B$ est l'ensemble des $x\app E$ appartenant à $\,A\,$ et à $\,B:\,$
intersection,
on recherche l'ensemble des
$\displaystyle{}A\cap B=\ens{x\app E}{x\app A \,\text{ et }\,x\app B}$
Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{.75}.$ La droite affine $\sc D$ passant par le point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ est l'ensemble :
droites
affines $\sc D$ du plan $P$ passant par $A$ et par $B\sp{1.5}.$
Il s'agit donc des droites $\sc D$ telles que $A\app\sc D$ et $B\app\sc D\,;$ on va devoir considérer deux cas :
$\displaystyle{}\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u}{\lambda\app\bb R}$
- Si les points $A$ et $B$ sont confondus, on a alors :
$\,\sc F_A\cap\sc F_B=\sc F_A=\sc F_B\,.\,$
$\sc F_A\cap\sc F_B$ est alors un ensemble
Un ensemble $E$ est fini ssi il existe $n\app\bb N$ et une bijection :infini, puisqu'il contient toutes les droites passant par le point $\,A\!=\!B\sp{1.5}.\,$$\displaystyle{}[\![1,n]\!]\tot E\sp{1.5},\ \,i\mapsto x_i$Cet entier $\,n\sp{1.5},\,$ unique, s'appelle le cardinal de $E:$ $\,\op{card}(E) =n\sp{1.5}.\,$
- L'ensemble vide est fini, avec : $\,\op{card}(\vide) =0\,;\,$
- les ensembles non finis sont les ensembles infinis.
- Si les deux points $A$ et $B$ sont distincts, un élément de $\,\sc F_A\cap\sc F_B\,$ est une droite $\sc D$ telle que $\,\sc D\app\sc F_A\,$ et $\,\sc D\app\sc F_B\sp{1.5}.\,$
Il s'agit d'une droite affine $\sc D$ passant par $A$ et par $B\,;$ il n'en existe qu'une : c'est la
Soient deux points distincts $A$ et $B$ appartenant à un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$ Il existe une et une seule droite affine, notée $(AB),$ telle que $\,A\app\sp{1.5}(AB)\!\txt{et}\!B\app\sp{1.5}(AB):\,$droite $(AB)\sp{1.5}.$ Réciproquement, cette droite $(AB)$ appartient bien à $\sc F_A\sp{1.5},$ car : $\,A\app\sp{1.5}(AB)\sp{1.5}.\,$ Elle appartient aussi à $\sc F_B\sp{1.5},$ car : $\,B\app\sp{1.5}(AB)\sp{1.5};\,$ on a donc établi que :$\displaystyle{}(AB)=A+\op{Vect}(\Vec{AB})=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\Vec{AB}}{\lambda\app\bb R}$$\displaystyle{}\sc F_A\cap\sc F_B=\big\{(AB)\}$L'ensemble $\,\sc F_A\cap\sc F_B\,$ est alors un singleton, contenant un seul élément : la droite $(AB)\sp{1.5}.$
|
Le cas $\,A\neq B:\,$ $\,\sc F_A\cap\sc F_B=\big\{(AB)\big\}\,$
|
On doit toujours identifier soigneusement la nature des éléments de l'ensemble recherché :
- dans la réponse : $\,\sc F_A\cap\sc F_B=\big\{(AB)\big\},\,$ les accolades sont essentielles. En effet, l'ensemble obtenu est un singleton qui ne contient que la seule droite $(AB)\,.$
- Avec la réponse fausse : $\,\sc F_A\cap\sc F_B=(AB),\,$ cette intersection contiendrait une infinité d'éléments. Tous les points de la droite $(AB)$ appartiendraient à $\,\sc F_A\cap\sc F_B\,;\,$ mais $\,\sc F_A\cap\sc F_B\,$ est un ensemble de droites, et non un ensemble de points.