Sujet A.1.1 Sous-ensembles
Choisir
un exercice, puis le résoudre
:
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Exercice a
On considère dans $\bb Z^2$ l'ensemble $E$ des couples $\,(x,y)\,$ de la forme $\,(a+b,\,a-b)\,$ pour $\,(a,b)\app\bb Z^2.\,$
Déterminer une propriété $\,\sc P(x,y)\,$ définie sur $\bb Z^2$ et telle que :
$\displaystyle{}E=\ens{(x,y)\app\bb Z^2}{\sc P(x,y)}$
relation d'inclusion
Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$ ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$
$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$
On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$
On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
produit cartésien
Le produit cartésien $\,E_1\!\times\!\cdots\!\times\! E_p\,$ de $p$ ensembles $\,E_1,\dots,E_p\,$ est :
$\displaystyle{}E_1\!\times\!\cdots\!\times\!E_p=\ens{(x_1,\dots,x_p)}{x_1\app E_1,\dots,x_p\app E_p}$
indication
Pour $\,(x,y)\app E\sp{1.5},\,$ déterminer une particularité de $\,x-y\sp{1.5}.\,$
figure
Représentation de $E$ dans le carré $\,[-4,4\sp{1.5}]^2\,$
réponse
En désignant par $\,2\sp{1.5}\bb Z\,$ l'ensemble des nombres pairs, on obtient :
$\displaystyle{}E=\ens{(x,y)\app\bb Z^2}{x-y\app2\sp{1.5}\bb Z}$
Ce résultat peut aussi se formuler en termes de congruence modulo $\,2:\,$
$\displaystyle{}E =\ens{(x,y)\app\bb Z^2}{x\equiv y\,[\sp{1.5}2\sp{1.5}]}$
correction
Pour tout $\,(a,b)\app\bb Z^2,\,$ on remarque que $\,x=a+b\,$ et $\,y=a-b\,$ sont des entiers relatifs, et ils ont la même parité.
En effet, $\,x-y=2\sp{.75}b\,$ est un nombre
Un entier relatif $a$ est pair ssi il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire ssi il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$
Les entiers non pairs sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$
pair ;
en notant $\,2\sp{1.5}\bb Z\,$ l'ensemble des nombres pairs, on a donc établi
Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$ ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$
l'inclusion :
$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$
On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$
On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}E\subset\ens{(x,y)\app\bb Z^2}{x-y\app2\sp{1.5}\bb Z}$
Réciproquement, considérons un couple $\,(x,y)\,$ de $\bb Z^2$ tel que $\,x-y\app2\sp{1.5}\bb Z\sp{1.5}.\,$
Il existe alors un $\,b\app\bb Z\,$ tel que $\,x-y=2\sp{.75}b\sp{1.5},\,$ et on a d'autre part pour $\,a=x-b\app\bb Z:\,$
$\displaystyle{}x+y=2\sp{.75}x-(x-y)=2(x-b)=2\sp{.75}a$
On en déduit finalement que : $\,x=a+b\,$ et $\,y=x-2\sp{.75}b=(a+b)-2\sp{.75}b=a-b\,.\,$
$E$ est donc caractérisé dans $\bb Z^2$ par la propriété : $\,x-y\app2\sp{1.5}\bb Z\sp{1.5},\,$
si bien qu'on peut écrire
Deux ensembles $E$ et $F$ sont égaux ssi ils ont les mêmes éléments :
l'égalité :
$\displaystyle{}E= F\Ssi \big(\sp{1.5}x\app E \ \Ssi\ x\app F\sp{1.5}\big)$
En d'autres termes, il s'agit d'une double inclusion : $\displaystyle{}E=F\Ssi\big(\sp{1.5}E\subset F\,\text{ et }\,F\subset E\sp{1.5}\big)$
$\displaystyle{}E=\ens{(x,y)\app\bb Z^2}{x-y\app2\sp{1.5}\bb Z}$
Ce résultat peut aussi se formuler en termes de
Deux entiers relatifs $\,x\,$ et $\,y\,$ sont congrus modulo $\,n\app\bb N\,$ ssi :
congruence
modulo $\,2:\,$
$\displaystyle{}\iex k\app\bb Z\sp{1.5},\ \,x-y=k\sp{1.5}n$
C'est une relation d'équivalence sur $\,\bb Z\sp{1.5},\,$ notée : $\,x\sp{-1.5}\equiv\sp{-1.5} y\,[\sp{.75}n\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}E=\ens{(x,y)\app\bb Z^2}{x\equiv y\,[\sp{.75}2\sp{.75}]}$
On peut alors visualiser dans $\,[-4,4\sp{1.5}]^2\subset\bb R^2,\,$ les éléments de $E$
(cerclés de rouge) parmi les éléments de $\bb Z^2$ (points bleus) :
|
Représentation de $E$ dans le carré $\,[-4,4\sp{1.5}]^2\,$
|
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Exercice b
On considère dans $\bb Z^2$ l'ensemble $E$ des couples $\,(x,y)\,$ de la forme $\,(2\sp{.75}a-b,\,2\sp{.75}b-a)\,$ pour $\,(a,b)\app\bb N^2.\,$
Déterminer une propriété $\,\sc P(x,y)\,$ définie sur $\bb Z^2$ et telle que :
$\displaystyle{}E=\ens{(x,y)\app\bb Z^2}{\sc P(x,y)}$
relation d'inclusion
Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$ ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$
$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$
On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$
On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
produit cartésien
Le produit cartésien $\,E_1\!\times\!\cdots\!\times\! E_p\,$ de $p$ ensembles $\,E_1,\dots,E_p\,$ est :
$\displaystyle{}E_1\!\times\!\cdots\!\times\!E_p=\ens{(x_1,\dots,x_p)}{x_1\app E_1,\dots,x_p\app E_p}$
indication
Pour $\,(x,y)=(2\sp{.75}a-b,\,2\sp{.75}b-a)\app E\sp{1.5},\,$ exprimer $\,a\,$ et $\,b\,$ en fonction de $\,x\,$ et $\,y\sp{1.5}.\,$
figure
Représentation de $E$ dans le carré $\,[-3,5]^2\,$
réponse
En désignant par $\,3\sp{1.5}\bb N\,$ l'ensemble des multiples de $\,3\,$ dans $\,\bb N\sp{1.5},\,$ on obtient : congruence modulo $\,3\sp{1.5},\,$ pour $\,(x,y)\app\bb Z^2:\,$
$\displaystyle{}E=\ens{(x,y)\app\bb Z^2}{2\sp{.75}x+y\app3\sp{1.5}\bb N\txt{et}x+2\sp{.75}y\app3\sp{1.5}\bb N}$
L'ensemble $E$ peut aussi se caractériser en termes de $\displaystyle{}(x,y)\app E\Ssi \Big(2\sp{.75}x+y\equiv0\,[\sp{.75}3\sp{.75}]\txt{et}\syst{\,2\sp{.75}x+y\geq0\\[-.5ex]x+2\sp{.75}y\geq0}\ \,\Big)$
correction
Soient $\,(x,y)\app E\,$ et $\,(a,b)\app\bb N^2\,$ tels que : $\,x=2\sp{.75}a-b\,$ et $\,y=2\sp{.75}b-a\,;\,$ on a alors :
$\displaystyle{}(\sc E)\ \Syst{\,x=2\sp{.75}a-b\\y=2\sp{.75}b-a}\Imp\Syst{\,2\sp{.75}x+y=3\sp{.75}a\\ x+2\sp{.75}y=3\sp{.75}b}$
On a effectué la transformation : $\,(\sc E_1,\sc E_2)\ot(2\sp{.75}\sc E_1+\sc E_2,\,\sc E_1+2\,\sc E_2),\,$ sur les équations du système.
Lorsqu'on applique simultanément plusieurs opérations à un système, la réciproque n'est pas garantie.
En notant $\,3\sp{1.5}\bb N\,$ l'ensemble des
$\,a\app\bb Z\,$ est un diviseur de $\,b\app\bb Z\,$ ssi $\,b\,$ est un multiple de $\,a\sp{1.5},\,$ soit :
multiples
de $\,3\,$ dans $\bb N\sp{1.5},$ on a donc
$\displaystyle{}\iex q\app\bb Z,\ b=a\sp{1.5}q$
On écrit : $\,a\sp{1.5}\big|\sp{1.5}b\sp{1.5},\,$ et $\,a\sp{1.5}\bb Z\,$ désigne l'ensemble des multiples de $\,a\,$ dans $\bb Z\sp{1.5}.$
Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$ ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$
l'inclusion :
$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$
On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$
On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}E\subset\ens{(x,y)\app\bb Z^2}{2\sp{.75}x+y\app3\sp{1.5}\bb N\txt{et}x+2\sp{.75}y\app3\sp{1.5}\bb N}$
Réciproquement, soit $\,(x,y)\app\bb Z^2\,$ tel que :
$\,2\sp{.75}x+y\app3\sp{.75}\bb N\,$ et $\,x+2\sp{.75}y\app3\sp{.75}\bb N\sp{1.5}.\,$
Il existe alors un couple $\,(a,b)\app\bb N^2\,$ tel que $\,2\sp{.75}x+y=3\sp{.75}a\,$ et $\,x+2\sp{.75}y=3\sp{.75}b\sp{1.5},\,$ et on a donc :
$\displaystyle{}\Syst{\,2\sp{.75}x+y=3\sp{.75}a\\ x+2\sp{.75}y=3\sp{.75}b}\Imp\Syst{\,x=2\sp{.75}a-b\\y=2\sp{.75}b-a}$
On a effectué cette fois : $\,(\sc E_1,\sc E_2)\ot\big((2\sp{.75}\sc E_1-\sc E_2)/3,\,(-\sc E_1+2\,\sc E_2)/3\big)\sp{1.5};\,$
cela prouve finalement
Deux ensembles $E$ et $F$ sont égaux ssi ils ont les mêmes éléments :
l'égalité :
$\displaystyle{}E= F\Ssi \big(\sp{1.5}x\app E \ \Ssi\ x\app F\sp{1.5}\big)$
En d'autres termes, il s'agit d'une double inclusion : $\displaystyle{}E=F\Ssi\big(\sp{1.5}E\subset F\,\text{ et }\,F\subset E\sp{1.5}\big)$
$\displaystyle{}E=\ens{(x,y)\app\bb Z^2}{2\sp{.75}x+y\app3\sp{.75}\bb N\txt{et}x+2\sp{.75}y\app3\sp{.75}\bb N}$
On aurait pu établir directement la double inclusion en résolvant $\,(\sc E)\,$ par un enchaînement d'
Avec : $\,2\sp{.75}x+y=3\sp{.75}a\sp{1.5},\,$ on a la factorisation :
Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.
On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :
opérations
élémentaires.
On aurait obtenu des équivalences, d'où un raisonnement plus bref ; cette démarche est cependant moins explicite.- $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
- $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
- $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$
$\displaystyle{}x+2\sp{.75}y= 3\sp{.75}(x+y)-(2\sp{.75}x+y)=3\sp{.75}(x+y-a)$
On en déduit une autre écriture de l'ensemble $E:$
$\displaystyle{}E=\ens{(x,y)\app\bb Z^2}{2\sp{.75}x+y\app3\sp{.75}\bb N\txt{et}x+2\sp{.75}y\geq0}$
L'ensemble $E$ peut encore se caractériser en termes de
Deux entiers relatifs $\,x\,$ et $\,y\,$ sont congrus modulo $\,n\app\bb N\,$ ssi :
congruence
modulo $\,3\sp{1.5},\,$ pour $\,(x,y)\app\bb Z^2:\,$
$\displaystyle{}\iex k\app\bb Z\sp{1.5},\ \,x-y=k\sp{1.5}n$
C'est une relation d'équivalence sur $\,\bb Z\sp{1.5},\,$ notée : $\,x\sp{-1.5}\equiv\sp{-1.5} y\,[\sp{.75}n\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}(x,y)\app E\Ssi \Big(2\sp{.75}x+y\equiv0\,[\sp{.75}3\sp{.75}]\txt{et}\syst{\,2\sp{.75}x+y\geq0\\[-.5ex]x+2\sp{.75}y\geq0}\ \,\Big)$
On peut alors visualiser dans $\,[-3,5]^2\subset\bb R^2,\,$ les éléments de $E$
(cerclés de rouge) parmi les éléments de $\bb Z^2$ (points bleus) :
|
Représentation de $E$ dans le carré $\,[-3,5]^2\,$
|
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Exercice c
On considère dans $\bb Z^3$ l'ensemble $E$ des triplets $\,(x,y,z)\,$ de la forme $\,(a-b,\,b-c,\,c-a)\,$ pour $\,(a,b,c)\app\bb N^3.\,$
Déterminer une propriété $\,\sc P(x,y,z)\,$ définie sur $\bb Z^3$ et telle que :
$\displaystyle{}E=\ens{(x,y,z)\app\bb Z^3}{\sc P(x,y,z)}$
relation d'inclusion
Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$ ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$
$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$
On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$
On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
produit cartésien
Le produit cartésien $\,E_1\!\times\!\cdots\!\times\! E_p\,$ de $p$ ensembles $\,E_1,\dots,E_p\,$ est :
$\displaystyle{}E_1\!\times\!\cdots\!\times\!E_p=\ens{(x_1,\dots,x_p)}{x_1\app E_1,\dots,x_p\app E_p}$
indication
1
Pour $\,(x,y,z)\app E,\,$ déterminer une relation entre $\,x,\,$ $\,y\,$ et $\,z\sp{1.5}.\,$
indication
2
Établir la réciproque à l'aide d'un système d'équations d'inconnues $\,a\sp{1.5},\,b\sp{1.5},\,c\,.\,$
figure
Représentation de $E$ dans le pavé $\,[-4,4]^3\,$
réponse
On obtient : $\,E=\ens{(x,y,z)\app\bb Z^3}{x+y+z=0}\!\cdot\,$
$E$ est ainsi formé des points du plan $P$ de $\bb R^3$ d'équation $\,x+y+z=0\sp{1.5},\,$ dont les coordonnées sont entières.
correction
Pour tout $\,(a,b,c)\app\bb N^3,\,$ on remarque que $\,(x,y,z)=(a-b,\,b-c,\,c-a)\,$ vérifie :
$\displaystyle{}x+y+z=(a-b)+(b-c)+(c-a)=0$
Cela nous prouve que $E$ est une partie du plan $P$ de $\bb R^3$
Soient $E$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel de base $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n) \,$ et $\,(a_1,\dots,a_n)\app\bb K^n\sp{1.5}.\,$
d'équation :
$\,x+y+z=0\sp{1.5},\,$ d'où
- L'ensemble des $\,u\app E\,$ tes que $\,X=\op{M}_\sc B(u)\,$ vérifie : $\displaystyle{}a_1\sp{1.5}x_1+\cdots+a_n\sp{1.5}x_n=0$est un hyperplan de $E$ si $\,(a_1,\dots,a_n)\neq(0,\dots,0)\sp{1.5}.\,$
- Tout hyperplan de $E$ est caractérisé dans $\sc B$ par une telle équation.
Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$ ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$
l'inclusion :
$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$
On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$
On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}E\subset\ens{(x,y,z)\app\bb Z^3}{x+y+z=0}$
Réciproquement, considérons un triplet $\,(x,y,z)\,$ de $\bb Z^3$ tel que : $\,x+y+z=0\sp{1.5}.\,$
On cherche alors à résoudre le
Un système linéaire $(\sc E)$ est un ensemble de $m$ équations linéaires :
système
linéaire suivant, d'inconnue $\,(a,b,c)\app\bb N^3:\,$
$\displaystyle{}(\sc E_k):\ a_{k,1}\sp{1.5}x_1+\cdots+a_{k,n}\sp{1.5}x_n=b_k$
Pour $\,X=[x_j]\app\bb K^n,\,$c e système s'écrit matriciellement : $\,A\sp{1.5}X=B\sp{1.5}.\,$
- $\,\sc S=\ens{X\app\bb K^n}{A\,X\!=\!B}\,$ est son ensemble de solutions.
- Le système $(\sc E)$ est dit compatible ssi $\,\sc S\,$ n'est pas vide.
$\displaystyle{}\Syst{\,a-b=x\\[-.5ex] b-c=y\\[-.5ex]c-a=z}$
On remarque alors qu'avec l'hypothèse $\,x+y+z=0\sp{1.5},\,$ on a :
$\displaystyle{}\eqalign{a-b=x\ \\[-.5ex] b-c=y\ }\Big\}\Imp c-a = (c-b) + (b-a)=-x-y=z$
Il nous suffit donc de déterminer $\,(a,b,c)\app\bb N^3\,$ tel que :
$\,\syst{\,a-b&=x\ \\[-.5ex] b-c&=y\ }\ \,$ c'est-à -dire : $\,\syst{\,a&=x+b\\[-.5ex] b&=y+c}\,$
Par
Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.
On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :
l'opération
élémentaire $\,\sc E_1\ot \sc E_1+\sc E_2\,,\,$ cela équivaut à : - $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
- $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
- $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$
$\displaystyle{}\syst{\,a&=x+y+c\\[-.5ex] b&=y+c}$
Tout $\,c\app\bb N\,$ tel que $\,b= y+c\geq 0\,$ et $\,a=x+y+c\geq0\,$ déterminera un triplet $\,(a,b,c)\,$ de $\bb N^3,$ solution du système initial.
Un tel $\,c\app\bb N\,$ existe bien, comme par exemple le
Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$
Un élément $\,M\,$ de $\,E\,$ est un majorant de $A$ ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\leq M\sp{1.5}.\,$
Si $\,M\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus grand élément de $A:$ $\,M=\max A\sp{1.5}.\,$
maximum :
$\,c=\max(0, -y, -x-y)\sp{1.5},\,$ ou tout entier supérieur à celui-ci.
On a donc finalement établi la caractérisation de $E$ par l'équation du plan $P,$ soit
Deux ensembles $E$ et $F$ sont égaux ssi ils ont les mêmes éléments :
l'égalité :
$\displaystyle{}E= F\Ssi \big(\sp{1.5}x\app E \ \Ssi\ x\app F\sp{1.5}\big)$
En d'autres termes, il s'agit d'une double inclusion : $\displaystyle{}E=F\Ssi\big(\sp{1.5}E\subset F\,\text{ et }\,F\subset E\sp{1.5}\big)$
$\displaystyle{}E=\ens{(x,y,z)\app\bb Z^3}{x+y+z=0}$
On peut alors visualiser dans $\,[-4,4]^3\subset\bb R^3,\,$ le plan $P$ d'équation $\,x+y+z=0\,$ (en bleu) et l'ensemble $E$ (points rouges) :
|
Représentation de $E$ dans le pavé $\,[-4,4]^3\,$
|